Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yang mengandung unsur fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:

  • Bentuk ^alog f(x) = b

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = a^b. Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1. Sebagai contoh, ^xlog(3x + 10) = 2, maka:

^xlog(3x + 10) = 2 rightarrow 3x + 10 = x^2

Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:

3x + 10 = x^2 rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x_1 = 5 dan x_2 = -2

  • Bentuk ^alog f(x) = ^alog b

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan b > 0. Sebagai contoh, log(x^2 - 1) = log 8 diubah bentuk menjadi:

x^2 - 1 = 8

x^2 = 9

Akar-akarnya adalah:

x_1 = 3 dan x_2 = -3

  • Bentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = g(x). Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0. Sebagai contoh:

log(x^2 - 1) - log(x - 1) = 1 + log(x - 8),

Menjadi:

log(x^2 - 1) - log(x - 1) = log 10 + log(x - 8)

log(frac{x^2 - 1}{x - 1}) = log10(x - 8)

frac{x^2 - 1}{x - 1} = 10(x-8)

frac{(x - 1)(x + 1)}{x -1} = 10(x-8)

(x + 1) = 10x - 80

9x = 81

Sehingga:

x = 9

  • Bentuk a(^plog(x))^2 + b(^plog f(x)) + c = 0

Persamaan logaritma ini dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan ^plog f(x) = y. Sehingga membentuk persamaan baru:

a(y)^2 + b(y) + c = 0

Dari persamaan tersebut akan diperoleh penyelesaian fungsi y, kemudian bisa disubstitusikan kedalam ^plog f(x) = y untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai contoh:

^2log x((^2log x) - 3) = ^2 log 16

Misalkan ^2log x = y, maka persamaan barunya:

^2log x((^2log x)- 3) = ^2log 16

y(y -3) = ^2log 2^4

y(y - 3) = 4

y^2 - 3y = 4

y^2 - 3y - 4 = 0

(y - 4)( y + 1) = 0

Akar-akarnya:

y_1 = 4 dan y_2 = -1

Sehingga diperoleh nilai x dari akar-akar y yaitu:

  • y_1 = 4

^2 log x = 4

x = 2^4 = 16

  • y_2 = -1

^2 log x = -1

x = 2^{-1} = frac{1}{2}

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

  • Jika ^alog f(x) < ^a log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)
  • Jika ^alog f(x) > ^alog g(x)” title=”^alog f(x) > ^alog g(x)” class=”latex” />, maka <img decoding=, maka f(x) > g(x) > 0″ title=”f(x) > g(x) > 0″ class=”latex” /></li><p></p><li>Jika <img decoding=

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

^2log(2x + 1) < ^2log 3

Berubah bentuk menjadi:

2x + 1

2x < 2

x < 1

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^alog f(x) < ^alog g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga:

0 < (2x+1) < 3

-1 < (2x) < 2

-frac{1}{2} < x < 1

Garis bilangannya adalah:

contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

(2 log x-1)(frac{1}{^xlog 10}) > 1″ title=”(2 log x-1)(frac{1}{^xlog 10}) > 1″ class=”latex” /></p><p></p><p>Diubah menjadi:</p><p></p><p style=(2 log x - 1)(log x) > 1″ title=”(2 log x – 1)(log x) > 1″ class=”latex” /></p><p></p><p style=2 log^2 x - log x - 1 > 0″ title=”2 log^2 x – log x – 1 > 0″ class=”latex” /></p><p></p><p>Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:</p><p></p><p style=2y^2 - y - 1 > 0″ title=”2y^2 – y – 1 > 0″ class=”latex” /></p><p></p><p style=(2y + 1)(y - 1)

Akar-akarnya adalah :

y_1 = -frac{1}{2} dan y_2 = 1

Maka nilai x adalah:

y_1 = -frac{1}{2}overset{maka}{rightarrow}-frac{1}{2} = log x

x_1 = 10^{-frac{1}{2}} = frac{1}{sqrt{10}}

y_2 = 1overset{maka}{rightarrow}1 = log x

x_2 = 10

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya adalah:

0 < x < frac{1}{sqrt{10}} atau x > 10″ title=”x > 10″ class=”latex” /></p><p></p><h2>Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma</h2><p></p><p>Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat:</p><p></p><ul></p><li>Jika <img decoding= dengan a > 0, maka -a < x < a

  • Jika mid x mid > a” title=”mid x mid > a” class=”latex” /> dengan <img decoding= > 0, maka x < -a atau x > a
  • Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh:

    mid ^3log (x+1)mid < 2

    Berdasarkan sifat bar x bar < a, maka:

    -2 < ^3log(x+1) < 2

    ^3log(frac{1}{9}) < ^3log(x+1) < ^3log(x+1) < ^3log 9

    frac{1}{9} < x + 1 < 9

    -frac{8}{9} < x < 8

    Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan

    Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma

    Tentukan penyelesaian dari ^2log(2x - 3) - ^4log(x - ^3/_2) = 1 (UMPTN ’92)

    Pembahasan 1:

    ^2log(2x - 3) - ^4log(x - ^3/_2) = 1

    ^2log(2x - 3) - frac{1}{2}(^2log(frac{2x-3}{2})) = 1

    ^2log(2x - 3) - (frac{1}{2}^2log(2x - 3)) - (-frac{1}{2}^2log 2) = ^2log 2

    frac{1}{2}^2log(2x - 3) = frac{1}{2}^2log 2

    ^2log (2x - 3) = ^2 log 2

    2x - 3 = 2

    x = 2,5

    Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma

    Tentukan nilai x dari persamaan  log(frac{3x+1}{100}) = ^{3x+1}log 1000 (UMPTN ’93)

    Pembahasan 2:

    log(frac{3x+1}{100}) =^{3x+1}log 1000

    log(3x+1) - log(100) = frac{1}{^{1000}log(3x+1)}

    log(3x+1) - log(10)^2 = frac{1}{^{10^3}log(3x+1)}

    log(3x + 1) - 2 = frac{1}{frac{1}{3}log(3x+1)}

    log(3x+1) - 2 = frac{3}{log(3x+1)}

    Misalkan y = log(3x+1), maka persamaannya:

    y - 2 = frac{3}{y}

    y^2 - 2y = 3

    y^2 - 2y - 3 = 0

    (y - 3)(y + 1) = 0

    Akarnya adalah y_1 = 3,namun y_2 = -1 tidak bisa jadi penyelesaian karena bernilai negatif.

    Sehingga:

    Jika y_1 = 3 overset{maka}{rightarrow}3 = log(3x+1)

    log(1000) = log(3x+1)

    1000 = 3x+1

    x = frac{999}{3} = 333

    Contoh Soal 3: Pertidaksamaan Logaritma

    Penyelesaian pertidaksamaan 2log(x+1) le log(x+4) + log 4 adalah       (UMPTN ’96)

    Pembahasan 3:

    2log(x+1) le log(x+4) + log 4

    log(x+1)^2 lelog 4(x+4)

    (x+1)^2 le 4(x+4)

    x^2 + 2x + 1 le 4x + 16

    x^2 - 2x - 15 le 0

    (x - 5)(x + 3) le 0

    Akar-akarnya adalah x_1 = 5 dan x_2 = -3. Sehingga intervalnya:

    -3 le x le 5

    Namun ada syarat yaitu:

    (x + 1)^2 > 0″ title=”(x + 1)^2 > 0″ class=”latex” /></p><p></p><p style=x < -1 atau x < -1

    Garis bilangannya adalah:

    pembahasan pertidaksamaan

    Maka penyelesaiannya adalah:

    -1 < x le 5

    Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

    Alumni Teknik Sipil FT UI

    Materi StudioBelajar.com lainnya:

    1. Sudut Istimewa Sin Cos Tan
    2. Integral
    3. Pengertian Matriks, Jenis-jenis, Ordo

    Bagikan:

    Leave a Comment