Rumus Trigonometri – Pengantar

Dalam trigonometri, Sinus. Cosinus. Tangent, Cosecan, Secan, dan Cotangent bisa digunakan bersama-sama baik dengan penjumlahan atau pengurangan maupun perkalian. Rumus-rumus penjumlahan, pengurangan, atau perkalian dalam trigonometri dapat diturunkan dari rumus jumlah dua sudut atau selisih dua sudut.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Integral Substitusi dan Integral Parsial

Fungsi Kuadrat

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Sudut

sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta

sin (alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta

cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta

cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

Pada rumus sudut rangkap, merupakan modifikasi dari penjumlahan dua sudut dengan alpha = beta, sehingga rumusnya menjadi sebagi berikut:

sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta.

Subtitusikan alpha = beta pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

sin (alpha + alpha) = sin alpha cos alpha + cos alpha sin alpha.

Karena sin alpha cos alpha = cos alpha sin alpha, maka didapat:

Sifat I: sin (2 alpha) = 2 sin alpha cos alpha.

cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta.

Subtitusikan alpha = beta pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

cos (alpha + alpha) = cos alpha cos alpha - sin alpha sin alpha.

Karena cos alpha cos alpha = cos^2 alpha dan sin alpha sin alpha = sin^2 alpha, maka didapat:

Sifat II: cos (2 alpha) = cos^2 alpha - sin^2 alpha.

Karena hasil pada cos sudut rangkap (II) merupakan selisih kuadrat, maka bentuk ini bisa disubtitusi dengan identitas trigonometri:

sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 rightarrow sin^2 alpha = 1 - cos^2 alpha.

Subtitusikan sin^2 alpha pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

cos (2 alpha) = cos^2 alpha - (1 - cos^2 alpha).

Buka kurung pada persamaan menjadi:

cos (2 alpha) = cos^2 alpha - 1 + cos^2 alpha).

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos akan didapat:

Sifat III: cos (2 alpha) = 2 cos^2 alpha - 1.

sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 rightarrow cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha.

Subtitusikan cos^2 alpha pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

cos (2 alpha) = (1 - sin^2 alpha) - sin^2 alpha.

Buka kurung pada persamaan menjadi:

cos (2 alpha) = 1 - sin^2 alpha - sin^2 alpha.

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos didapat:

Sifat IV: cos (2 alpha) = (1 - 2 sin^2 alpha).

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian dari Sinus dan Cosinus diperoleh dari menjumlahkan dan mengurangi rumus dari sudut rangkap.

Rumus Pertama:

Jumlahkan sin (alpha + beta) dengan sin (alpha - beta):

rumus trigonometri perkalian

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

sin alpha cdot sin beta = frac{1}{2} { sin (alpha + beta) + sin (alpha - beta) }.

Rumus Kedua:

Kurangkan sin (alpha + beta) dengan sin (alpha - beta):

perkalian trigonometri

Dari perhitungan hasil diatas, diperoleh:

cos alpha cdot sin beta = frac{1}{2} { sin (alpha + beta) - sin (alpha - beta) }.

Rumus Ketiga:

Jumlahkan cos (alpha + beta) dengan cos (alpha - beta):

cos kali cos

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

cos alpha cdot cos beta = frac{1}{2}{ cos (alpha + beta) + cos (alpha - beta) }.

Rumus Keempat:

Kurangkan dengan cos (alpha + beta) dengan cos (alpha - beta):

sin x sin

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

sin alpha cdot sin beta = - frac{1}{2} { cos (alpha + beta) - cos (alpha - beta) }.

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan merupakan modifikasi dari bentuk perkalian Sinus dan Cosinus.

Pada modifikasi ini, kita cukup mensubtitusi alpha menjadi frac{1}{2}(alpha + beta) dan beta menjadi frac{1}{2}(alpha - beta), sehingga diperoleh:

sin alpha + sin beta = 2 cdot sin frac{1}{2} (alpha + beta) cdot cos frac{1}{2} (alpha - beta)

sin alpha - sin beta = 2 cdot cos frac{1}{2} (alpha + beta) cdot sin frac{1}{2} (alpha - beta)

cos alpha + cos beta = 2 cdot cos frac{1}{2} (alpha + beta) cdot cos frac{1}{2} (alpha - beta)

cos alpha - cos beta = -2 cdot sin frac{1}{2} (alpha + beta) cdot sin frac{1}{2} (alpha - beta).

Rumus Trigonometri Pada Segitiga

Aturan Sinus

Setiap segitiga, selalu memiliki tiga sudut dan setiap sudut selalu menghadap pada satu sisi. Dari masing-masing sudut dan sisi yang berhadapan, terdapat perbandingan yang selalu sebanding, yaitu:

frac{A}{sin A}=frac{B}{sin B}=frac{C}{sin C}.

Aturan Sinus ini dapat digunakan dalam perhitungan jika paling sedikit diketahui 2 sisi 1 sudut atau 1 sisi 2 sudut.

Aturan Cosinus

Rumus perbandingan sudut dengan sisi pada segitiga, selain menggunakan Sinu, juga terdapat rumus Cosinus, yaitu:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.

b^2 = c^2 + a^2 - 2ac cos B.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C.

Rumus diatas digunakan untuk menentukan panjang sisi jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut yang diapit kedua sisi tersebut.

Sedangkan untuk menentukan besar sudut jika diketahui 3 sisi segitiga, dapat menggunakan aturan ini juga, dengan mengubah bentuk di atas, misalnya:

cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 cdot b cdot c}.

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut frac{1-(sin x - cos x)^2}{1 - cos 2x}!

Jawab:

Penjabaran dari bentuk (sin x - cos x)^2 adalah sin^2 x + cos^2 x - 2 sin x cos x, dimana sin^2 x + cos^2 x = 1 sesuai identitas trigonometri, sehingga:

sin^2 x + cos^2 x - 2 sin x cos x = 1 - 2 sin x cos x.

Untuk bentuk cos 2x, dengan menggunakan rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk cos^2 x - sin^2 x, 2 cos^2 x - 1, atau 1 - 2 sin^2 x. Untuk penyelesaian persamaan ini, kita gunakan bentuk 1 - 2 sin^2 x.

Sehingga persamaan menjadi:

frac{1 - (1 - 2 sin x cos x)}{1 - (1 - 2 sin^2 x)}.

Ketika tanda kurung dihilangkan, menjadi:

frac{1 - 1 + 2 sin x cos x}{1 - 1 + 2 sin^2 x} = frac{2 sin x cos x}{2 sin^2 x}.

Bagi pembilang dan penyebut dengan 2 sin x, dan diperoleh bentuk:

frac{cos x}{sin x} atau cot x.

Judul Artikel: Rumus Trigonometri kelas 11

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q., S.T.

Alumni Teknik Elektro UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Pengertian Integral
  2. Determinan dan Invers Matriks
  3. Transformasi Geometri

Bagikan:

Leave a Comment