Grafik Fungsi Trigonometri

Periode Fungsi Trigonometri

Fungsi f dengan wilayah R dikatakan periodik apabila ada bilangan $p ne 0$ , sedemikian sehingga $f(x+p) = f(x)$ , dengan $x epsilon R$ . Bilangan positif p terkecil yang memenuhi $f(x+p) = f(x)$ disebut periode dasar fungsi f.

Jika fungsi f periodik dengan periode dasar p, maka periode-periode dari fungsi f adalah $n times p$ , dengan n adalah bilangan asli. Jika f dan g adalah fungsi yang periodik dengan periode p, maka $f+g$ dan fg juga periodik dengan periode p.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Kuartil, Desil, Simpangan Baku, & Varian

Persamaan Trigonometri

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur $a$ dengan kelipatan $2pi$ (satu putran penuh) akan diperoleh titik p(a) yang sama, sehingga secara umum berlaku :

$sin (a+k times 2pi) = sin a$ dengan k∈B atau

$sin (a+ktimes 360^{circ}) = sin a^{circ}$ dengan k∈B

$cos (a+ktimes 2pi)$ dengan k∈B atau

$cos (a+ ktimes 360^{circ})$ dengan k∈B

Dengan demikian, fungsi sinus $f(x) = sin x$ vatau $f(x) = sin x^{circ}$ dan fungsi kosinus $f(x) = cos x$ atau $f(x) = cos x^{circ}$ adalah fungsi periodik dengan periode dasar $2pi$ atau $360^{circ}$ .

grafik fungsi trigonometri sinus dan cosinus

2. Periode fungsi tangen

Untuk penambahan panjang busur $a$ dengan kelipatan $pi$ (setengah putran penuh) akan diperoleh titik $p(a+ktimes p)$ yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut, sehingga secara umum $tan (a + k times pi) = tan a$ dengan $k epsilon B$ atau $tan (a+ktimes 1806{circ}) = tan a^{circ}$ dengan $k epsilon B$ .

grafik fungsi tangen

Dengan demikian tangen $f(x) = tan x$ atau $f(x) = tan^{circ}$ adalah fungsi periodik dengan periode $pi$ atau $180^{circ}$ .

Grafik Fungsi Trigonometri

grafik fungsi trigonometri lengkap

Dengan td adalah tidak didefinisikan. Untuk memudahkan, maka lihatlah segitiga berikut :

sudut istimewa segitiga

Dari konsep segitiga tersebut diperoleh nilai setiap sudut $30^{circ}, 45^{circ}$ dan $60^{circ}$ . Untuk sudut $0^{circ}$ dan $90^{circ}$ diperoleh dengan cara berikut :

konsep segitiga trigonometri

Didapat :

$sin a = frac{y}{r}$

$cos a = frac{x}{r}$

$tan a = frac{y}{x}$

Jika titik $P(x,y)$ bergerak mendekati sumbu X positif, akhirnya berimpit dengan sumbu X, maka x=r, y=0, $x = r,y = 0$ dan $a^{circ} =0^{circ}$ , sehingga

$sin 0^{circ} = frac{0}{r} = 0$

$cos 0^{circ} = frac{r}{r} = 1$

$tan 0^{circ} = frac{0}{r} = 0$

Jika titik P(x,y) $P(x,y)$ bergerak mendekati sumbu Y positif, akhirnya berimpit dengan sumbu Y, maka

$x =0,y = r$ , dan $a^{circ} = 90^{circ}$ , sehingga

$sin 90^{circ} = frac{r}{r} = 1$

$cos 0^{circ} = frac{0}{r} = 0$

tan⁡ $tan 0^{circ} = frac{r}{0}$ = tidak didefinisikan

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y) $P(x,y)$ pada fungsi trigonometri memiliki hubungan :

$-r le x le r$ dan $-r le y le r$

$-1 le frac{x}{r} le 1$ dan $-1 le frac{y}{r} le 1$

$-1 le cos a le 1$ dan $-1 le sin a le 1$

Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa :

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

Fungsi sinus $y =f(x) = sin x$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x =frac{1}{2}pi + k times 2pi$ dengan $k epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = frac{3}{2}pi + k times 2pi$ dengan $k epsilon B$ .

Fungsi sinus $y = f(x) = sin x^{circ}$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x = 90^{circ} + k times 360^{circ}$ dengan $k epsilon B$ dan nilai minimum $y_{maks} = -1$ yang dicapai untuk $x = 270^{circ} + k times 360^{circ}$ dengan $k epsilon B$ .

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

Fungsi kosinus $y = f(x) = cos x$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x =k times 2pi$ dengan $k epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = pi + k times 2pi$ dengan $k epsilon B$ .

Fungsi kosinus $y = f(x) = cos x^{circ}$ memiliki nilai maksimum $y_{maks} = 1$ yang dicapai untuk $x = k times 360^{circ}$ dengan $k epsilon B$ dan nilai minimum $y_{min} = -1$ yang dicapai untuk $x = 180^{circ} + k times 360^{circ}$ dengan $k epsilon B$ .

Secara umum dapat dikemukakan bahwa :

Jika fungsi sinus $y = f(x) = a sin (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = mid amid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -mid amid + d$

Jika fungsi kosinus $y = f(x) = a cos (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = mid amid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -mid amid + d$

Jika $y = f(x)$ adalah fungsi periodik dengan nilai maksimum $y_{maks}$ dan minimum $y_{min}$ , maka amplitudonya adalah :

$Amplitudo = frac{1}{2}(y_{maks}- y_{min})$

Jenis Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik fungsi baku $f(x) = sin x$ ; $f(x) = cos x$ ; dan $f(x) = tan x$

Sinus

grafik fungsi sinus baku

Kosinus

grafik fungsi cosinus baku

Tangen

grafik fungsi tangen baku

2. Grafik fungsi $f(x) = asin x$ ; $f(x) = acos x$ ; dan $f(x) = atan x$

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya tetap. Periode grafik tetap $2pi$ untuk kosinus dan sinus. Sedangankan periode tangen $pi$ .

Sinus

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya :

grafik a sin x

Kosinus

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya

grafik a cos x

Tangen

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya

grafik a tan x

3. Grafik fungsi $f(x) = asin kx$ ; $f(x) = acos kx$ ; dan $f(x) = atan kx$

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan ordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$frac{2pi}{mid kmid}$

Dan tangen

$frac{pi}{mid kmid}$

Sinus

Misalkan $a = 1$ dan $k = 2$ , maka grafiknya

a sin 2x

Kosinus

Misalkan $a = 1$ dan $k = 2$ , maka grafiknya

cos 2x

Tangen

Misalkan a=1 $a = 1$ dan k=3 $k = 3$ , maka grafiknya

tan 3x

4. Grafik fungsi $f(x) = asin(kxpm b)$ ; $f(x) = acos(kxpm b)$ ; dan $f(x) = atan (kxpm b)$ .

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya digeser sejauh :

$frac{b}{k}$

Jika b positif, absis digeser kekiri. Dan jika b negatif, absis digeser kekanan. Sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$frac{2pi}{mid kmid}$

Dan tangen

$frac{pi}{mid kmid}$

Sinus

Misalkan $a = 1$ , $k = 1$ , dan $b = +30^{circ}$ , maka grafiknya

sin kx + b

Kosinus

Misalkan $a = 1$ , $k = 1$ , dan $b = -30^{circ}$ , maka grafiknya

cos kx - b

5. Grafik fungsi $f(x) = asin (kxpm b) pm c$ ; $f(x) = acos (kxpm b) pm c$ ; dan $f(x) = atan (kxpm b) pm c$ .

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya digeser sejauh :

$frac{b}{k}$

Jika b positif, absis digeser kekiri. Dan jika b negatif, absis digeser kekanan. Koordinat didapat dengan menggeser titik koordinat grafik baku keatas jika c positif dan kebawah jika c negatif. Sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$frac{2pi}{mid k mid}$

Dan tangen

$frac{pi}{mid kmid}$

Misalkan $a = 1$ , $k = 1$ , $b = 0$ , dan $c = 1$ maka grafiknya sinusnya:

grafik fungsi trigonometri a sin x + b

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Fungsi $y = 10sin x - 4$ . Tentukan nilai maksimum, minimum, dan amplitudo fungsi tersebut.

Pembahasan

$y = 10sin x - 4$

$y_{maks} = mid 10mid + (-4) = 6$

$y_{min} = -mid 10mid + (-4) = -10 - 4 = -14$

$Amplitudo = frac{1}{2} (y_{maks} - y_{min}) = frac{1}{2}(6 -(-14)) = 10$

Contoh Soal 2

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = 8sin (x+frac{3pi}{2}) cos x$

Pembahasan

Gunakan : $2sin a cos beta = sin(a + beta) + sin (a - beta)$

$f(x) = 8sin(x+frac{3pi}{2}) cos x$ $f(x) = 4 times 2sin(x+frac{3pi}{2}) cos x$

$f(x) = 4(sin(x+frac{3pi}{2} - x))$

$f(x) = 4(sin(2x+frac{3pi}{2}) + sin(frac{pi}{2})) = 4(sin(2x+frac{3pi}{2}) - 1)$

$f(x) = 4sin (2x+frac{3pi}{2}) - 4$

Sehingga :

Untuk sin⁡ $(2x +frac{3pi}{2}) = 1$ , maka $f_{maks} = 4(1) - 4 = 0$

Untuk sin⁡ $(2x+frac{3pi}{2}) = -1$ , maka $f_{min} = 4(-1) - 4 = -8$

Contoh Soal 3

Bagilah sudut lancip α menjadi 2 bagian, sehingga hasil perkalian kosinus-kosinusnya mencapai nilai maksimum.

Tentukan nilai maksimum itu.

Pembahasan

Misalkan 2 bagian sudut adalah x dan α-x, maka f(x)=cos⁡x cos⁡(α-x). Berdasarkan rumus trigonometri $2cos a cos beta = cos (a+beta) + cos (a -beta)$ , maka :

$f(x) = frac{1}{2}langle cos(x+(a - x)) + cos(a -(a - x))rangle$

$f(x) = frac{1}{2}langle cos a + cos (2x - a)rangle$

$f(x)$ akan maksimum jika $cos (2x - a) = 1$ , sehingga

$f_{maks} = frac{1}{2}langle cos (a) + cos(2x - a)rangle = frac{1}{2}langle cos (a) + 1rangle$

Artikel: Grafik Fungsi Trigonometri

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

Transformasi Geometri

Identitas dan Transpose Matriks

Gradien Persamaan Garis Lurus

Grafik Fungsi Trigonometri

Periode Fungsi Trigonometri

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

2. Periode fungsi tangen

Grafik Fungsi Trigonometri

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

Jenis Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik fungsi baku $f(x) = sin x$ ; $f(x) = cos x$ ; dan $f(x) = tan x$

2. Grafik fungsi $f(x) = asin x$ ; $f(x) = acos x$ ; dan $f(x) = atan x$

3. Grafik fungsi $f(x) = asin kx$ ; $f(x) = acos kx$ ; dan $f(x) = atan kx$

4. Grafik fungsi $f(x) = asin(kxpm b)$ ; $f(x) = acos(kxpm b)$ ; dan $f(x) = atan (kxpm b)$ .

5. Grafik fungsi $f(x) = asin (kxpm b) pm c$ ; $f(x) = acos (kxpm b) pm c$ ; dan $f(x) = atan (kxpm b) pm c$ .

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

administrator

Leave a Comment Cancel reply

Grafik Fungsi Trigonometri

Periode Fungsi Trigonometri

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

2. Periode fungsi tangen

Grafik Fungsi Trigonometri

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

Jenis Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik fungsi baku ; ; dan

2. Grafik fungsi ; ; dan

3. Grafik fungsi ; ; dan

4. Grafik fungsi ; ; dan .

5. Grafik fungsi ; ; dan .

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

administrator

Leave a Comment Cancel reply

Rumus Trigonometri (kelas 11)

Logika Matematika

Sistem Persamaan Linear

Trigonometri

Persamaan Lingkaran

Latest Post

1. Grafik fungsi baku $f(x) = sin x$ ; $f(x) = cos x$ ; dan $f(x) = tan x$

2. Grafik fungsi $f(x) = asin x$ ; $f(x) = acos x$ ; dan $f(x) = atan x$

3. Grafik fungsi $f(x) = asin kx$ ; $f(x) = acos kx$ ; dan $f(x) = atan kx$

4. Grafik fungsi $f(x) = asin(kxpm b)$ ; $f(x) = acos(kxpm b)$ ; dan $f(x) = atan (kxpm b)$ .

5. Grafik fungsi $f(x) = asin (kxpm b) pm c$ ; $f(x) = acos (kxpm b) pm c$ ; dan $f(x) = atan (kxpm b) pm c$ .