Grafik Fungsi Trigonometri

Periode Fungsi Trigonometri

Fungsi f dengan wilayah R dikatakan periodik apabila ada bilangan p \ne 0, sedemikian sehingga f(x+p) = f(x), dengan x \epsilon R. Bilangan positif p terkecil yang memenuhi f(x+p) = f(x) disebut periode dasar fungsi f.

Jika fungsi f periodik dengan periode dasar p, maka periode-periode dari fungsi f adalah n \times p, dengan n adalah bilangan asli. Jika f dan g adalah fungsi yang periodik dengan periode p, maka f+g dan fg juga periodik dengan periode p.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Kuartil, Desil, Simpangan Baku, & Varian

Persamaan Trigonometri

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur a dengan kelipatan 2\pi (satu putran penuh) akan diperoleh titik p(a) yang sama, sehingga secara umum berlaku :

  • \sin (a+k \times 2\pi) = \sin a dengan k∈B atau
  • \sin (a+k\times 360^{\circ}) = \sin a^{\circ} dengan k∈B
  • \cos (a+k\times 2\pi) dengan k∈B atau
  • \cos (a+ k\times 360^{\circ}) dengan k∈B

Dengan demikian, fungsi sinus f(x) = \sin xvatau f(x) = \sin x^{\circ} dan fungsi kosinus f(x) = cos x atau f(x) = cos x^{\circ} adalah fungsi periodik dengan periode dasar 2\pi atau 360^{\circ}.

grafik fungsi trigonometri sinus dan cosinus

2. Periode fungsi tangen

Untuk penambahan panjang busur a dengan kelipatan \pi (setengah putran penuh) akan diperoleh titik p(a+k\times p) yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut, sehingga secara umum \tan (a + k \times \pi) = \tan a dengan k \epsilon B atau \tan (a+k\times 1806{\circ}) = \tan a^{\circ} dengan k \epsilon B.

grafik fungsi tangen

Dengan demikian tangen f(x) = \tan x atau f(x) = \tan^{\circ} adalah fungsi periodik dengan periode  \pi atau 180^{\circ}.

Grafik Fungsi Trigonometri

grafik fungsi trigonometri lengkap

Dengan td adalah tidak didefinisikan. Untuk memudahkan, maka lihatlah segitiga berikut :

sudut istimewa segitiga

Dari konsep segitiga tersebut diperoleh nilai setiap sudut 30^{\circ}, 45^{\circ} dan 60^{\circ} . Untuk sudut 0^{\circ} dan 90^{\circ} diperoleh dengan cara berikut :

konsep segitiga trigonometri

Didapat :

  • \sin a = \frac{y}{r}
  • cos a = \frac{x}{r}
  • \tan a = \frac{y}{x}

Jika titik P(x,y)bergerak mendekati sumbu X positif, akhirnya berimpit dengan sumbu X, maka x=r, y=0,  x = r,y = 0 dan a^{\circ} =0^{\circ}, sehingga

  • \sin 0^{\circ} = \frac{0}{r} = 0
  • \cos 0^{\circ} = \frac{r}{r} = 1
  • \tan 0^{\circ} = \frac{0}{r} = 0

Jika titik P(x,y)P(x,y)bergerak mendekati sumbu Y positif, akhirnya berimpit dengan sumbu Y, maka

x =0,y = r, dan a^{\circ} = 90^{\circ}, sehingga

  • \sin 90^{\circ} = \frac{r}{r} = 1
  • \cos 0^{\circ} = \frac{0}{r} = 0
  • tan⁡ \tan 0^{\circ} = \frac{r}{0} = tidak didefinisikan

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y)P(x,y) pada fungsi trigonometri memiliki hubungan :

  • -r \le x \le r dan -r \le y \le r
  • -1 \le \frac{x}{r} \le 1 dan -1 \le \frac{y}{r} \le 1
  • -1 \le \cos a \le 1 dan -1 \le \sin a \le 1

Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa :

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus

  • Fungsi sinus y =f(x) = \sin x memiliki nilai maksimum y_{maks} = 1 yang dicapai untuk x =\frac{1}{2}\pi + k \times 2\pi dengan k \epsilon B dan nilai minimum y_{min} = -1 yang dicapai untuk x = \frac{3}{2}\pi + k \times 2\pi dengan k \epsilon B.
  • Fungsi sinus y = f(x) = \sin x^{\circ} memiliki nilai maksimum y_{maks} = 1 yang dicapai untuk x = 90^{\circ} + k \times 360^{\circ} dengan k \epsilon B dan nilai minimum y_{maks} = -1yang dicapai untuk x = 270^{\circ} + k \times 360^{\circ}dengan k \epsilon B.

Nilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

  • Fungsi kosinus y = f(x) = \cos x memiliki nilai maksimum y_{maks} = 1 yang dicapai untuk x =k \times 2\pi dengan k \epsilon B dan nilai minimum y_{min} = -1 yang dicapai untuk x = \pi + k \times 2\pi dengan k \epsilon B.
  • Fungsi kosinus y = f(x) = \cos x^{\circ} memiliki nilai maksimum y_{maks} = 1 yang dicapai untuk x = k \times 360^{\circ} dengan k \epsilon B dan nilai minimum y_{min} = -1 yang dicapai untuk x = 180^{\circ} + k \times 360^{\circ} dengan k \epsilon B.

Secara umum dapat dikemukakan bahwa :

  1. Jika fungsi sinus y = f(x) = a \sin (bx + c) + d, maka nilai maksimumnya y_{maks} = \mid a\mid + d dan nilai minimumnya y_{min} = -\mid a\mid + d
  2. Jika fungsi kosinus y = f(x) = a \cos (bx + c) + d, maka nilai maksimumnya y_{maks} = \mid a\mid + d dan nilai minimumnya y_{min} = -\mid a\mid + d

Jika y = f(x) adalah fungsi periodik dengan nilai maksimum y_{maks} dan minimum y_{min}, maka amplitudonya adalah :

Amplitudo = \frac{1}{2}(y_{maks}- y_{min})

Jenis Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik fungsi baku f(x) = \sin x; f(x) = \cos x; dan f(x) = \tan x

Sinus

grafik fungsi sinus baku

Kosinus

grafik fungsi cosinus baku

Tangen

grafik fungsi tangen baku

2. Grafik fungsi f(x) = a\sin x; f(x) = a\cos x; dan f(x) = a\tan x

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya tetap. Periode grafik tetap 2\pi untuk kosinus dan sinus. Sedangankan periode tangen \pi.

Sinus

Misalkan a = 2, maka grafiknya :

grafik a sin x

Kosinus

Misalkan a = 2, maka grafiknya

grafik a cos x

Tangen