Irisan kerucut adalah irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang yang membentuk kurva dua-dimensi. Jenis kurva yang dapat terbentuk adalah lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

irisan kerucut parabola elips hiperbola

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Dimensi Tiga

Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama, yang disebut jari-jari lingkaran, ketitik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Persamaan umum pada lingkaran sebagai berikut :

x^2 + y^2 + Ax + By + c = 0

dengan

  • Pusat lingkaran (-frac{1}{2}A, -frac{1}{2}B)
  • Jari-jari sqrt{frac{1}{4}A^2 + frac{1}{4}B^2 - C}

Persamaan lingkaran jika titik  pusatnya diketahui:

irisan kerucut lingkaran

Posisi titik P(x_1,x_2) terhadap lingkaran dengan persamaan (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 adalah:

  • P di dalam lingkaran jika (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 < r^2
  • P di lingkaran jika (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2
  • P di luar lingkaran jika (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 > r^2″ title=”(x_1 – a)^2 + (y_1 – b)^2 > r^2″ class=”latex” /></li><p></ul><p></p><p><img loading=

    Posisi titik P{x_1,x2} terhadap lingkaran dengan persamaan x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 ditentukan dengan Kuasa K, dimana K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C.

    • P di dalam lingkaran jika K < r^2
    • P di lingkaran jika K = r^2
    • P di luar lingkaran jika K > r^2″ title=”K > r^2″ class=”latex” /></li><p></ul><p></p><p>Posisi garis <img decoding= terhadap lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 memiliki tiga kemungkinan titik potong. Hal ini ditentukan oleh diskriminan D = b^2 - 4ac dari persamaan kuadrat sekutu antara garis dan lingkaran. Sehingga:

      • D > 0″ title=”D > 0″ class=”latex” />, garis memotong lingkaran di dua titik</li><p></p><li><img decoding=, garis menyinggung lingkaran di satu titik
      • D < 0, garis tidak memotong lingkaran.

      posisi garis terhadap lingkaran

      Garis singgung yang melewati titik singgung (x_1,y_1) dapat ditentukan persamaan garisnya dengan cara:

      garis singgung yang melewati lingkaran

      Persamaan garis singgung dengan gradien m yang menyinggung lingkaran dapat ditentukan dengan cara:

      persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

      • Garis singgung dengan gradien m akan sejajar dengan garis h (y = mx_h + n) jika m = m_h
      • Garis singgung dengan gradien m akan tegak lurus dengan garis h (y = mx_h + n) jika m = frac{1}{m_h}

      Parabola

      Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu, yang dinamakan titik fokus (f), dan garis tertentu, yang dinamakan direktriks (d), selalu sama. (karena e = 1)

      irisan kerucut parabola

      Berikut adalah macam-macam persamaan parabola:

      Titik PuncakTitik FokusPersamaan ParabolaKeterangan
       (0,0) (p,0) y^2 =4px

      • Kurva terbuka kekanan
      • Persamaan direktriks: x = -p
      • Sumbu simetri: y = 0
      • Panjang latus rectum = 4p

       (-p,0) y^2 = -4px

      • Kurva terbuka kekiri
      • Persamaan direktriks: x =p
      • Sumbu simetri: y = 0
      • Panjang latus rectum =4p

       (0,p) x^2 = 4py

      • Kurva terbuka keatas
      • Persamaan direktriks: y = -p
      • Sumbu simetri: x = 0
      • Panjang latus rectum

       (0,-p) x^2 = -4py

      • Kurva terbuka keatas
      • Persamaan direktriks: y = p
      • Sumbu simetri: x = 0
      • Panjang latus rectum

       (a,b) (a + p,0) (y-b)^2 = 4p(x - a)

      • Kurva terbuka kekanan
      • Persamaan direktriks: x = a-p
      • Sumbu simetri: y = b
      • Panjang latus rectum =4p

       (a - p,0) (y - b)^2 = -4p(x - a)

      • Kurva terbuka kekiri
      • Persamaan direktriks: x = a + p
      • Sumbu simetri: y = b
      • Panjang latus rectum = 4p

       (0,a + p) x - a^2 = 4p(y - b)

      • Kurva terbuka keatas
      • Persamaan direktriks: y = b - p
      • Sumbu simetri: x = a
      • Panjang latus rectum = 4p

       (0,a - p) x - a^2 = -4p(y - b)

      • Kurva terbuka keatas
      • Persamaan direktriks: y = b + p
      • Sumbu simetri: x = a
      • Panjang latus rectum = 4p

      Persamaan garis singgung parabola yang melalui titik singgung (x_1,y_1) pada parabola adalah:

      persamaan parabola

      Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m pada parabola adalah:

      persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

      Elips

      Elips didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya dari dua titik (titik fokus) adalah konstan.

      irisan kerucut elips

      Bentuk persamaannya sebagai berikut:

      PusatPuncak Sumbu MayorPuncak Sumbu MinorPersamaan Elips
       (0,0) A_1(-a,0)

      A_2(a,0)

       B_1(0,-b)

      B_2(0,b)

       frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2}=1

      • Kurva lonjong mendatar
      • Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) =2a
      • Panjang sumbu minor (sumbu pendek) = 2b
      • a > b rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ title=”a > b rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li><p></p><li>Titik focus <img decoding= dan f_2(c,0)
      • Eksentrisitas e = frac{c}{a}
      • Direktriks x = -frac{a^2}{c} dan x = frac{a^2}{c}
      • Panjang latus rectum = frac{2b^2}{a}

       A_1(0,-a)

      A_2(0,a)

       B_1(-b,0)

      B_2(b,0)

       frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2}=1

      • Kurva lonjong vertikal
      • Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) =2a
      • Panjang sumbu minor (sumbu pendek) =2b
      •  a > b rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ title=” a > b rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li><p></p><li>Titik focus <img decoding= dan f_2(0,c)
      • Eksentrisitas e = frac{c}{d}
      • Direktriks x =-frac{a^2}{c} dan x =frac{a^2}{c}
      • Panjang latus rectum =frac{2b^2}{a}

       (h,k) A_1(h-k,a)

      A_2(h+a,0)

       B_1(h,k-b)

      B_2(h,k+b)

       frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

      • Kurva lonjong mendatar
      • Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) =2a
      • Panjang sumbu minor (sumbu pendek) =2b
      • a > b rightarrow c^2 = a^2 -b^2″ title=”a > b rightarrow c^2 = a^2 -b^2″ class=”latex” /></li><p></p><li>Titik focus <img decoding= dan f_2(h+c,0)
      • Eksentrisitas e = frac{c}{d}
      • Direktriks x = h -frac{a^2}{c} dan x = h + frac{a^2}{c}
      • Panjang latus rectum = frac{2b^2}{a}

       A_1(h,k - a)

      A_2(h,k + a)

       B_1(h - b,k)

      B_2(h + b,k)

       frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2} = 1

      • Kurva lonjong vertikal
      • Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) =2a
      • Panjang sumbu minor (sumbu pendek) =2b
      • a > b rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ title=”a > b rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li><p></p><li>Titik focus <img decoding= dan f_2(0,k + c)
      • Eksentrisitas e = frac{c}{a}
      • Direktriks x = k - frac{a^2}{c}dan x = k + frac{a^2}{c}
      • Panjang latus rectum = frac{2ab^2}{a}

      Dengan persamaan garis singgung yang melewati titik (x_1,y_1) pada elips adalah:

      persamaan elips

      Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m pada elips adalah:

      persamaan garis singgung elips dengan gradien m

      Hiperbola

      Hiperbola didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik (titik fokus) adalah konstan.

      irisan kerucut hiperbola

      Persamaan hiperbola dengan titik pusat (0,0) dan (h,k) sebagai berikut:

      persamaan hiperbola dengan titik pusat 00

      persamaan hiperbola dengan titik pusat h k

      Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik (x_1,y_1) adalah:

      persamaan hiperbola melalui titik x1 y1

      Persamaan garis  singgung hiperbola dengan gradien m pada elips adalah:

      persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien m

      Contoh Soal Irisan kerucut dan Pembahasan

      Contoh Soal Irisan Kerucut 1

      Lingkaran (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah?    (UN 2012)

      Pembahasan

      y =3 disubstitusi ke (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9 menjadi

      (x + 1)^2 + (3 - 3)^2 = 9

      (x + 1)^2 = 9

      (x + 1) = pm sqrt{9} = pm 3

      x_1 = 2 dan x_2 = -4

      Contoh Soal Irisan Kerucut 2

      Koordinat titik pusat elips 7x^2 + 16y^2 - 28x + 96y + 60 = 0 adalah?       (UAN 2002)

      Pembahasan

      7x^2 + 16y^2 - 28x + 96y + 60 = 0

      7x^2 - 28x + 16y^2 + 96y + 60 = 0

      7(x^2 - 4x) + 16(y^2 + 6y) = -60

      7(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 + 6y + 9) = -60 + 7(4) + 16(9)

      7(x - 2)^2 + 16(y + 3)^2 = -60 + 28 + 144 = 112

      frac{7(x-2)^2}{112} + frac{16(y+3)^2}{112} = 1

      frac{(x - 2)^2}{16} + frac{(y + 3)^2}{7} = 1

      Sesuai dengan frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, sehingga titik pusatnya adalah

      (h, k) = (2, -3)

      Contoh Soal Irisan Kerucut 3

      Hiperbola  frac{(y-3)^2}{49} - frac{(x+1)^2}{6} = 1 memiliki garis singgung yang tegak lurus garis x + 2y - 14 = 0. Tentukan garis singgungnya.

      Pembahasan

      x + 2y - 14 = 0

      2y = -x + 14

      y = -frac{1}{2}x + 7

      m_1 = -frac{1}{2}

      Garis saling tegak lurus, sehingga

      m_2 = -frac{1}{m_1}

      m_2 = -frac{1}{m_1} = -frac{1}{(-frac{1}{2})} = 2

      kemudian

      frac{(y-3)^2}{49} - frac{(x+1)^2}{6} = 1

      Sesuai dengan frac{(y-k)^2}{a^2} - frac{(x-h)^2}{b^2} = 1, sehingga

      y - k = m(x - h) pm sqrt{a^2 - b^2m^2}

      y - 3 = 2(x + 1) pm sqrt{49 - 6(4)}

      y - 3 = 2x + 2 pm 5

      y = 2x + 2 + 3 pm 5 = 2x + 5 pm 5

      Sehingga

      y_1 = 2x + 10

      y_2 = 2x

      Artikel: Irisan Kerucut

      Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

      Alumni Teknik Sipil FT UI

      Materi StudioBelajar.com lainnya:

      1. Trigonometri
      2. Integral
      3. Determinan dan Invers Matriks

Bagikan:

Leave a Comment