Kuartil (Q)

Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Terdapat tiga kuartil, yaitu kuartil bawah (Q_1), kuartil tengah (Q_2) atau median, dan kuartil atas (Q_3). Kuartil didapat dengan cara :

  1. Mengurutkan data dari nilai terkecil hingga terbesar
  2. Menentukan median atau (Q_2)
  3. Menentukan (Q_1) (median data kurang dari (Q_2)) dan (Q_3) (median data lebih dari (Q_2))

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Persamaan Trigonometri

Mean Median Modus

Contoh, data yang diurutkan:

rumus cara mencari kuartil

  • (Q_2) = 4
  • (Q_1) = frac{1}{2}(2+3) = 2.5
  • (Q_3) = frac{1}{2}(6+6) = 6

Untuk data berkelompok, kuartil dihitung dengan rumus:

Q_i = t_b + (frac{frac{i}{4}n-f_k}{f})c

Dengan:

t_b = tepi bawah kelas kuartil

n = banyak data

f_k = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

f = frekuensi kumulatif kelas kuartil

c = panjang kelas

i = 1,2,3

(Contoh ada di soal 1 di bawah)

Desil

Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Letak desil bisa direntukan dengan rumus:

D_i terletak pada nilai ke – frac{i(n+1)}{10}

Contoh, data yang diurutkan:

cara mencari dan rumus desil

  • D_3 ada di nilai ke- frac{i(n+1)}{10} = frac{3(15)+1}{10} = 4.8, sehingga

D_3 = x_4 + 0.8(x_5 - x_4) = 6 + 0.8(6 - 6) = 6

  • D_6 ada di nilai ke-frac{i(n+1)}{10} = frac{6(15 + 1)}{10} = 9.6, sehingga

D_6 = x_9 + 0.6(x_10 - x_9) = 7 + 0.6(8 - 7) = 7.6

Untuk data berkelompok, desil didapat dengan rumus berikut :

D_i = t_b + (frac{frac{i}{10}n-f_k}{f})c

Dengan:

t_b = tepi bawah kelas desil

n = banyak data

f_k = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil

f = frekuensi kumulatif kelas desil

c = panjang kelas

i = 1,2,3,…,9

(Contoh ada di soal 1)

Jangkauan (Rentang), Hamparan, dan Simpangan Kuartil

Jangkauan data (J) adalah selisih antara data terbesar dan data terkecil.

J = x_{max}-x_{min}

Hamparan atau jangkauan antar kuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan pertama

H = Q_3 - Q_1

Simpangan kuartil Q_d adalah setengah kali panjang hamparan

Q_d = frac{1}{2}(Q_3 - Q_1)

(Contoh di Soal 1 dan Soal 2)

Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata (SR) merupakan jarak rata-rata suatu data terhadap rataannya. Simpangan rata-rata dapat dicari dengan rumus:

SR = frac{1}{2} sum limits^N_{I=1}mid x_i - bar xmid

Dengan:

n = banyak data

x_i = nilai data ke-i

bar x = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk data berkelompok, rumus simpangan rata-rata (SR) adalah :

SR = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_imid x_i - bar xmid

Dengan:

k = banyak kelas

x_i = titik tengah kelas ke-i

bar x = nilai rata-rata

n=sum^k_{i=1}f_i

(Contoh di Soal 3)

Ragam

Ragam atau varian (S^2) menyatakan rata-rata kaudrat jarak suatu data terhadap rataannya. Rumus untuk mendapatkan ragam atau varian adalah:

S^2 = frac{1}{n} sum limits^n_{i=1}(x_i - bar x)^2

Dengan:

n = banyak data

x_i = nilai data ke-i

bar x = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk Ragam atau varian (S^2) untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut:

S^2 = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_i(x_i - bar x)^2

Atau

S^2 = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_ix_i^2 - (frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_ix_i)^2

Dengan:

k = banyak kelas

x_i = titik tengah kelas ke-i

bar x = nilai rata-rata

n = sum^k_{i=1}f_i

(Contoh di Soal 3)

Rumus diatas dapat diubah dengan menggunakan simpangan rataan menjadi

S^2 = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_id_i^2 - (frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_id_i)^2

Simpangan Baku

Simpangan baku atau standar deviasi (S) adalah rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut. Simpangan baku dapat ditentukan dengan rumus :

S = sqrt{S^2} = sqrt{frac{1}{n} sum limits^n_{i=1}(x_i - bar x)^2}

Contoh di Soal 2

Sedangkan untuk data berkelompok, Simpangan baku atau standar deviasi dapat ditentukan dengan rumus:

S = sqrt{S^2} = sqrt{frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}f_i(x_i - bar x)^2}

Contoh di Soal 3

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, Simpangan Baku, dsb & Pembahasan

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, dsb.

Tentukan nilai kuartil bawah, kuartilatas, desil ke-6, jangkauan antar kuartil, dan simpangan kuartil dari data berikut:

contoh soal jangkauan simpangan kuartil

Pembahasan

  • Panjang kelas: c = 10
  • Banyak data: n = 40

Maka letaknya:

  • Kelas Q_1 ada pada x ke frac{i}{4}n = frac{1}{4}(40) = 10 yaitu di kelas 60 – 69
  • Kelas  frac{i}{4}n = frac{3}{4}(40) = 30 yaitu di kelas 80 – 89
  • Kelas D_6 ada pada xx frac{i(n+1)}{10} = frac{6(40+1)}{10} = 24.6 yaitu di kelas 70 – 79

Sehingga:

Q_1 = t_b + (frac{frac{i}{4}n-f_k}{f})c = 59.5 + (frac{frac{1}{4}(40)-8}{8}) 10 = 65.75

Q_3 = t_b + (frac{frac{i}{4}n-f_k}{f})c = 79.5 + (frac{frac{8}{4}(40)-27}{10}) 10 = 82.5

D_6 = t_b + (frac{frac{6}{10}(40)-13}{14})10 = 77.36

Jangkauan antar kuartil (H):

H = Q_3 - Q_1 = 82.5 - 65.75 = 16.75

Simpangan kuartil Q_d:

Q_d = frac{1}{2}H = frac{1}{2}(16.75) = 8.375

Contoh Soal Simpangan Baku, Ragam, dsb.

Diketahui data 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9. Tentukan nilai dari jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tersebut.

Pembahasan:

contoh soal simpangan baku

Dengan Q_1 = 4, Q_2 = 6, dan Q_3 = 8.5, maka

  • Mean: bar x = frac{3+4+4+5+6+7+8+9+9}{9} = frac{55}{9} = 6.11
  • Jangkauan: (J) = x_{max} - x_{min} = 9 -3 = 6
  • Jangkauan antar kuartil: H= Q_3 - Q_1 = 8.5 - 4 = 4.5
  • Simpangn kuartil: Q_d = frac{1}{2}(Q_3 - Q_1) = frac{1}{2}(Q_3 - Q_1) = frac{1}{2}(8.5 - 4) = 2.25
  • Simpang rata-rata:

SR =frac{1}{n} sum limits^k_{i=1} mid x_i - bar xmid

SR = frac{1}{9} sum limits^k_{i=1} mid 3 - 6.11mid +  mid 4 - 6.11mid +  mid 4 - 6.11mid +  mid 5 - 6.11mid +  mid 6 - 6.11mid +  mid 7 - 6.11mid +  mid 8 - 6.11mid +  mid 9 - 6.11mid +  mid 9 - 6.11mid

SR=frac{1}{9} sum limits^k_{i=1} mid -3.11mid +  mid -2.11mid +  mid -2.11mid + -1.11mid +  mid -1.11mid +  mid 0.89mid +  mid 1.89mid +  mid 2.89mid +  mid 2.89mid

SR = frac{1}{9} times 17 = 1.89

  • Ragam:

S^2 = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1}(x_i - bar x)^2

S^2 = frac{1}{9} sumlimits^k_{i=1}(3 - 6.11)^2 +  (4 - 6.11)^2 +  (5 - 6.11)^2 + (6 - 6.11)^2 +  (7 - 6.11)^2 + (8 - 6.11)^2 +  (9 - 6.11)^2 + (9 - 6.11)^2

SR = frac{1}{9} sum limits^k_{i=1} (-3.11)^2 +  (-2.11)^2 +  (-2.11)^2 +  (-1.11)^2 +  (-1.11)^2 +  (0.89)^2 +  (1.89)^2 +  (2.89)^2 +  (2.89)^2

S^2 = frac{1}{9} sum limits^k_{i=1} 9.6721 + 4.4521 + 4.4521 + 1.2321 + 1.2321 + 0.7921 + 3.5721 + 8.3521 + 8.3521

S^2 = frac{1}{9} times 42.1089 = 4.6788

  • Simpangan baku:

 S = sqrt{S^2} = sqrt{4.6788} = 2.163

Contoh Soal Jangkauan, Simpangan Rata-rata, dsb.

Tentukan jangkauan, hamparan, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku pada data berikut:

NilaiFrekuensi
40-491
50-594
60-698
70-7914
80-8110
90-993
Jumlah40

Pembahasan:

Nilaif_ix_if_id_imid x_ibar xmidf_imid x_i - bar xmid(x_i - bar x)^2
40-49144.543.529.2529.25855.56
50-59454.521419.2577370.56
60-69864.55089.257485.56
70-791474.510290.7510.50.56
80-811084.583510.75107.5115.56
90-99394.5280.520.7562.25430.56
JUMLAH402910360.5

Mean tabel distribusi frekuensi:

bar x = frac{sum^k_{i=1}f_ix_i}{sum^k_{i=1}f_i} = frac{2940}{40} = 73.35

Simpangan rata-rata:

SR = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1} f_imid x_i -bar xmid = frac{1}{40}360.5 = 9.0125

Ragam:

S^2 = frac{1}{n} sum limits^k_{i=1} f_i(x_i - bar x)^2 = frac{1}{40}(5477.50) = 136.94

Simpangan baku:

S = sqrt{S^2} = sqrt{136.94} = 11.70

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Identitas Trigonometri dan Sudut Istimewa
  2. Sifat Logartima
  3. Determinan Matriks dan Invers Matriks

Bagikan:

Leave a Comment