Peluang, Permutasi, & Kombinasi

Kaidah pencacahan

Ada tiga metode dalam kaidah pencacahan:

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Untuk memahami metode ini, kita dapat menjabarkannya menggunakan pasangan terurut. Jika suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam n_1 cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam  cara yang berbeda, dan seterusnya maka kejadian-kejadian itu secara berurutan dapat terjadi:

n_1 \times n_2 \times n_3 … cara yang berbeda

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Trigonometri

SPLDV & SPLTV

Sebagai ilustrasi: misalkan seorang pekerja memiliki 4 buah kemeja dan 2 buah dasi yang masing-masing mempunyai warna yang berbeda. Berapa pasangan warna kemeja dan dasi yang dapat dibuat? Jika himpunan kemeja adalah k = ( k_1, k_2, k_3, k_4) = 4 buah dan himpunan dasi adalah d = (d_1, d_2) = 2 buah. Sehingga dapat ditentukan bahwa:

n_k \times n_d = 4 x 2 = 8 cara

Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :

n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1

Contoh, 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:

1. Permutasi dari elemen yang berbeda

Permutasi  elemen dari  elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan  elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan.  Jika , (r data-lazy-src=

Sehingga jika n = r, permutasinya: _nP_r = n!.

Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c  adalah a,b,c  a,c,b  b,c,a  b,a,c  c,a,b  c,b,a dengan _3P_3 = 3! = 6. Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf  adalah  dengan ._3P_2 = \frac{3!}{(3 - 2)!} = 3! = 6.

2. Permutasi dengan Beberapa elemen yang sama

Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi  elemen n yang memuat elemen n_1, n_2, n_3 \cdots, n_r,, dengann_1 + n_2 + n_3, \cdots n_r \le  adalah:

_nP(n_1,n_2,n_3, \cdots, n_r) = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!}

Sebagai ilustrasi: ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya:

p = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!} = \frac{6!}{3! 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = 60.

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah

P_(siklis) = (n - 1)!

Sebagai ilustrasi: banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja adalah

P = (4 - 1)! = 3 \times 2 \times 1 = 6

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah

P_(berulang) = n^r

Sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah

P_(tidak berulang)= \frac{n!}{(n - r)!}

Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :

_nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}

Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf  a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb  tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :

_3C_2 = \frac{3!}{2! (3 - 2)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3

Binom Newton

Binom Newton berhubungan dengan bentuk (a + b)^2 . Dimana suku ke-r dari bentuk tersebut adalah :

Suku ke – r = _nC_{r-1} \times a^{n-r+1} \times b^{r-1}

Sebagai ilustrasi: koefisien  x^{27} dari (x^2 + 2x)^{15}  adalah:

_nC_{r - 1} x a^{n - r + 1} x b^{r - 1} = _{15}C_{r - 1} x (x^2)^{15 - r + 1} x (2x)^{r - 1}

= _{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1}

Agar x berpangkat 27 dibuat:

 27 = (30 - 2r - 2) +(r - 1)\overset{maka}{\rightarrow}r = 4

Sehingga:

  • suku ke – 4   = _{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1} = _{15}C_3 x (x^{30 -8 +2}) x (2x)^{4 - 1}.
  • _{15}C_3 . x^{24}8x^3 = _{15}C_3 . 8x^{27} = \frac{15!}{12!3!}8x^{27} = 3640x^{27}.
  • Koefisiennya: 3640

Peluang Suatu Kejadian

Peluang atau probabilitas adalah kemungkinan sebuah kejadian dapat terjadi. Percobaan merupakan suatu proses yang dilakukan untuk kemudian memperoleh suatu hasil pengukuran, perhitungan, ataupun pengamatan. Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel (S). Sehingga kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.