Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah:

 ax^2 + bx + c = 0

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta  a \neq 0 .

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Logika Matematika

Penjumlahan dan Perkalian Trigonometri

Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar merupakan nilai dari variabel x yang memenuhi persamaan tersebut. Ketika nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai nol.

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga metode dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 yaitu:

Pemfaktoran

Metode ini mudah digunakan jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel model persamaan kuadrat (PK) dan berbagai cara pemfaktorannya:

persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

Saat menggunakan metode ini, pertama harus mengetahui terlebih dahulu model PK yang akan diselesaikan. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran bisa dilakukan dalam bentuk sesuai dengan yang ada di kolom tabel di atas. Untuk mendapatkan nilai p, q, m dan n kalian harus memahami cara memfaktorkan suatu bilangan.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0 diubah bentuk menjadi persamaan:

(x + p)^2 = q

Dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan x^2 + bx + c = 0 didapatkan dengan cara:

p = \frac{1}{2}b

q = (\frac{1}{2}b)^2 - c

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

(x + p)^2 = q

(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c

x^2 + bx + (\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c

x^2 + bx + c = 0

Rumus abc

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 didapatkan dari rumus abc berikut:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sehingga, akar-akarnya adalah

x_1 = \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

D = b^2 - 4ac

Sehingga rumus abc menjadi:

x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}

Tanda akar diskriminan ( \sqrt{D} ) dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK ax^2 + bx + c = 0 adalah:

  • Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
  • Jika D > 0 maka akar-akarnya real (x_1, x_2 \in R) dan berbeda (x_1 \neq x_2).
  • Jika D = 0 maka akar-akarnya real (x_1, x_2 \in R) dan sama atau kembar (x_1 = x_2).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan ax^2 + bx + c dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}

\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

  • Penjumlahan akar-akar x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.
  • Perkailan akar-akar x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam (x_1 + x_2) dan (x_1 \cdot x_2). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan: