Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan U_n . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, U_n = f(n)

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Integral

Perkalian & Invers Matriks

barisan dan deret sebagai fungsi

Misalkan U_n = (2n + 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U_4 = (2(4) + 1) = 9.

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U1, U2, U3, …, Un yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = Un  f(n) = U_n memiliki deret sebagai:

U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_{i=1}^{n} {U_i}

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

U_n - U_{(n - 1)} = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

U_n = U_k + (n - k)b

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

U_n = a + (n - 1)b

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}

atau sebagai:

S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1).

S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1).

S_n - S_(n-1) = U_n

Sehingga diperoleh U_n = S_n - S_(n-1).

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

b = \frac{p-a}{q+1}

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:

  • Nilai q = 3
  • Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
  • b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2
  • Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke-  \frac{1}{2}(n+1). Jika diselesaikan dalam rumusU_n = a + (n - 1)b, maka nilai suku tengah didapatkan:

U_n = a + (n - 1)b

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b

= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b

= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

\frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

r = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

U_n = U_k \cdot r^{(n - k)}

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama  U_k = a dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

U_n = a \cdot r^{(n - 1)}

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n

Atau sebagai:

S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

S_n = a\frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}

dengan syarat 0 < r < 1. Atau: