Eksponen, Perpangkatan, & Bentuk Akar

Eksponen diartikan sebagai perkalian atau pembagian bilangan dengan besaran yang diulang-ulang (repetisi). Sesuai dengan definisinya, eksponen mengandung bentuk perpangkatan dan akar. Eksponen ditulis dalam bentuk:

a^n atau \sqrt[m]{a}

Jika dalam pangkat a^n, maka nilai a dikalikan dengan a sebanyak n kali atau an = a x a x … x a.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Integral Tentu & Penggunaan Integral

Grafik Fungsi Trigonometri

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Dengan a, b, p, m, dan n adalah bilangan real, maka eksponen dalam bentuk perpangkatan memiliki sifat-sifat berikut:

  • a^m\times a^n = a^{(m+n)}

Contoh:

2^3 \times 2^4 = 2^{(3+4)} = 2^7

3^5\times 3^4 = 3^{(5+4)} = 3^9

  • \frac{a^m}{a^n} = a^{(m-n)} dengan a \ne 0

Contoh:

\frac{2^7}{2^3} = 2^{(7-3)} = 2^4

\frac{3^6}{3^3}= 3^{(6-3)} = 3^3

  • (a^m)^n = a^{(m \times n)}

Contoh:

(2^3)^2 = 2^{(3 \times 2)} = 2^6

(5^2)^4 = 5^{(2 \times 4)} = 2^8

  • (a^m\times b^n)^p = a^{mp}\times b^{np}

Contoh:

(2^3 \times 3^4)^2 = 2^{(3\times 2)}\times 3^{(4\times 2)} = 2^6 \times 3^8

(3^5 \times 5^4)^3 = 3^{(5\times 3)}\times 5^{(4\times 3)} = 3^{15} \times 5^{12}

  • (\frac{a^m}{b_n})^p = \frac{a^{mp}}{b^{np}} dengan b ≠ 0

Contoh:

(\frac{3^7}{2^3})^2 = \frac{3^{(7 \times 2)}}{2^{(3\times 2)}} = \frac{3^{14}}{2^6}

(\frac{3^6}{5^5})^3 = \frac{3^{(6\times 3)}}{5^{(5\times 3)}} = \frac{3^{18}}{5^{15}}

  • a^0 = 1 dengan a ≠ 0

Contoh:

4^0 = 1

3^0 = 1

  • a^{-n} = \frac{1}{a^n} dengan a ≠ 0

Contoh:

2^{-6} = \frac{1}{2^6}

3^{-7} = \frac{1}{3^7}

  • \frac{1}{a^{-n}} = a^n

Contoh:

\frac{1}{2^{-5}} = 2^5

\frac{1}{3^{-7}} = 3^7

  • a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Contoh:

2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}

3^{\frac{7}{6}} = \sqrt[6]{3^7}

Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

Berdasarkan sifat terakhir bilangan berpangkat, diketahui akar kuadrat juga merupakan sebuah bentuk pangkat a^n dengan nilai pangkat n yang berada pada rentang 0 < n < 1. Sebagai contoh:

5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}

7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}

Eksponen dalam bentuk akar kuadrat memiliki sifat-sifat berikut:

\sqrt{a^2} = | a |

\sqrt{a\times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Operasi Aljabar Bentuk Akar

Eksponen dalam bentuk akar bisa dilakukan operasi aljabar. Untuk p dan q adalah bilangan real, maka operasi aljabarnya sebagai berikut:

p(\sqrt{a}) + q(\sqrt{a}) = (p+q)(\sqrt{a})

p(\sqrt{a}) - q(\sqrt{a}) = (p - q)(\sqrt{a})

p(\sqrt{a})\times q(\sqrt{b}) = (pq)(\sqrt{a \times b})

\frac{p(\sqrt{a})}{q(\sqrt{b})} = (\frac{p}{q}) (\sqrt{\frac{a}{b}})

Merasionalkan Penyebut Pecahan

Pecahan eksponen dapat dirasionalkan dengan mengalikan pecahan tersebut dengan sebuah pecahan pengali bernilai satu dimana penyebut dan pembilang dari pecahan pengali tersebut sama dengan pembilang dari pecahan yang hendak dirasionalkan.

PecahanPecahan PengaliRasionalisasi Pecahan
\frac{a}{\sqrt{b}}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}
\frac{c}{a+\sqrt{b}}\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}\frac{c}{a+\sqrt{b}} = \frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} = \frac{c(a-\sqrt{b})}{a^2-b}
\frac{c}{a-\sqrt{b}}\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}\frac{c}{a-\sqrt{b}} = \frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}} = \frac{c(a+\sqrt{b})}{a^2-b}
\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} -\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a-b}
\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}

Sifat-sifat Pangkat Pecahan

Jika dalam sebuah pangkat pecahan, a dan b adalah bilangan real, p dan q adalah pecahan dan bilangan rasional maka:

  • a^p \times a^q = a^{p+q}

Contoh:

3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2

  • a^p:a^q = a^{p-q}

Contoh:

2^{\frac{3}{2}}:2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3-1}{2}} = 2^{\frac{2}{2}} = 2

  • (a^p)^q = a^{p\times q}

Contoh:

(2^{\frac{1}{5}})^{\frac{7}{2}} = 2^{\frac{1}{5}\times \frac{7}{2}} = 2^{\frac{7}{10}} =\sqrt[10]{2^7}

  • a^{-p}=\frac{1}{a^p}

Contoh:

4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

  • (a^p\times b^q)^r

Contoh: