Limit Fungsi

Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Ilustrasi limit. Sumber gambar: betterexplained.com

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Suku Banyak

Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Limit Fungsi Aljabar

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

No	TEOREMA
1	$lim limits_{xto c}k=k$
2	$lim limits_{xto c}x = c$
3	$k cdot lim limits_{xto c}f(x)$
4	$lim limits_{x to c}({f(x) + g(x)})$ $= lim_{xto c}f(x) + lim_{xto c}g(x)$
5	$lim limits_xto c({f(x) - g(x)}) = lim_xto c{f(x) - g(x)}$ $= lim_x{to c}f(x) - lim_{x to c}g(x)$
6	$lim limits_{xto c}({f(x) cdot g(x)}) = lim_{xto c}f(x) cdot lim_{xto c}g(x)$
7	$lim limits_{xto c}frac{f(x)}{g(x)} = frac{lim_{xto c}f(x)}{lim_{xto c}g(x)}$
8	$lim limits_{xto c}(f(x)^n) = (lim_{xto c}f(x))^n$
9	$lim limits_{xto c}(sqrt[n]{f(x)}) = sqrt[n]{lim_{xto c}f(x)}$

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:

$lim limits_{xto 3}frac{x^2 - 4}{x + 2} = frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

2. Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

∞, $frac{0}{0}$ , $frac{infty}{infty}$ , 0 x∞, ∞ – ∞, 0⁰, ∞⁰, atau ∞^∞

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan $xto c$ . Contoh:

$lim limits_{xto 3}frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = frac{3}{2}$

3. Metode perkalian dengan akar sekawan

Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai $xto c$ . Contoh:

$lim limits_{xto -1}frac{x +1}{1 - sqrt{x + 2}} x (frac{1 + sqrt{x +2}}{1 + sqrt{x + 2}}) = frac{(x + 1)(1 + sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}$

$=frac{(x + 1)(1+sqrt{x+2})}{-x - 1} = frac{(x+1)(1+sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + sqrt{x + 2})$

$=-(1 + sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2$

Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang nilai x mendekati tak berhingga (∞), sehingga jika disubstitusikan fungsi menghasilkan nilai tak tentu. Dalam pengoperasian limitnya, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika n adalah bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

No	TEOREMA	SYARAT
1	$lim limits_{xto infty}k = k$	k adalah konstanta
2	$lim limits_{xto infty}x^n = infty$
2	$lim limits_{xto infty}frac{1}{x^n} = 0$
3	$lim limits_{xto -infty}frac{1}{x^n} = infty$	Jika n = genap
3	$lim limits_{xto - infty}frac{1}{x^n}= - infty$	Jika n = ganjil
4	$lim limits_{xto infty}k cdot f(x) = k cdot lim limits_{xto infty}f(x)$	k adalah konstanta
5	$lim limits_{xto infty}({f(x) + g(x)}) = lim limits_{xto infty} f(x) + lim limits_{xto infty}g(x)$ $lim limits_{xto infty}{f(x) + g(x)} = lim limits_{xto infty} f(x) + lim limits_{xto infty}g(x)$
6	$lim limits_{xto infty}({f(x) - g(x)})$ $= lim limits_{xto infty}f(x) - lim limits_{xto infty}g(x)$
7	$lim limits_{xto infty}({f(x) cdot g(x)}) = lim limits_{xto infty}f(x) cdot lim limits_{xto infty} g(x)$
8	$lim limits_{xto infty}frac{f(x)}{g(x)} = frac{lim limits_{xto infty}f(x)}{lim limits_{xto infty}g(x)}$
9	$lim limits_{xto c}(f(x)^n) = (lim limits_{xto c} f(x))^n$
10	$lim limits_{xto c}(sqrt[n]{f(x)}) = sqrt[n]{lim limits_{xto c}f(x)}$
11	$lim limits_{xto infty}frac{1}{f(x)} = infty$	$lim limits_{xto infty}f(x) = 0$
11	$lim limits_{xto infty}frac{1}{f(x)} = 0$	$lim limits_{xto infty}f(x) = infty$

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:

Membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $lim limits_{xto infty}frac{f(x)}{g(x)}$ . Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xⁿ berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan $xto infty$ . Contoh:

$lim limits_{xto infty}frac{4x-1}{x^2+2} = frac{frac{4x}{x^2} - frac{1}{x^2}}{frac{x^2}{x^2} + frac{2}{x^2}} = frac{frac{4}{x} - frac{1}{x^2}}{1+frac{2}{x^2}} = frac{0}{1} = 0$

Mengalikan bentuk sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $lim limits_{xto infty}f(x) - lim limits_{xto infty}g(x)$ . Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:

$frac{lim limits_{xto infty}f(x)+lim limits_{xto infty}g(x)}{lim limits_{xto infty}f(x)+lim limits_{x to infty}g(x)}$

kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:

$lim limits_{xto infty}(sqrt{x^2 + 4x - 5 - sqrt{x^2 -x -2}})$

$=lim limits_{nto infty}(sqrt{x^2 + 4x -5 - sqrt{x^2 - x - 2}})$ $x frac{(sqrt{x^2+4x-5 + sqrt{x^2 - x - 2}})}{(sqrt{x^2+4x-5} + sqrt{x^2-x-2})}$

$= lim limits_{nto infty}frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(sqrt{x^2+4x-5} + sqrt{x^2-x-2})}$ $= lim limits_{nto infty}frac{5x-3}{(sqrt{x^2+4x-5})+sqrt{x^2-x-2}}$

Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x¹:

$lim limits_{nto infty}frac{frac{5x}{x}-frac{3}{x}}{(sqrt{frac{x^2+4x-5}{x^2}}+sqrt{frac{x^2-x-2}{x^2}})}$ $= lim limits_{nto infty}frac{5-frac{3}{x}}{(sqrt{1+frac{4}{x}-frac{5}{x^2}}+ sqrt{1-frac{1}{x}-frac{2}{x^2}})}$

$= frac{(-0}{(1+1)} = frac{5}{2}$

Limit Fungsi Trigonometri

Limit juga dapat digunakan pada fungsi trigonometri. Penyelesaiannya sama dengan fungsi limit aljabar. Namun, agar mengerti penjalasan selanjutnya harus mengerti terlebih dahulu konsep dari trigonometri. Penyelesaian dalam limit fungsi ini dalam trigonometri bisa dilakukan dengan melakukan perubahan-perubahan bentuk sinus, cosinus, dan tangen.

Ada tiga bentuk umum dalam limit fungsi trigonometri, yaitu bentuk :

1. Bentuk $lim_{xto c}f(x) = f(c)$

Pada bentuk ini, limit dari fungsi trigonometri f(x) merupakan hasil dari substitusi nilai c ke dalam x dari trigonometri. Contoh :

No.	CONTOH	NILAI LIMIT
1	$lim limits_{xto ^pi/_4} sin 2x$	$sin frac{pi}{2}$
2	$lim limits_{xto pi} cos frac{1}{2}x$	$cosfrac{1}{2}pi$
3	$lim limits_{xto ^pi/_2} tan x$	$tanfrac{pi}{2}$

Jika c = 0, maka rumus limit-limit trigonometrinya adalah sebagai berikut :

$lim limits_{xto 0} sin x = 0$

$lim limits_{xto 0} cos x = 1$

$lim limits_{xto 0} cos x = 0$

2. Bentuk $lim_{xto c}frac{f(x)}{g(x)}$

Pada bentuk ini, limit diperoleh dari perbandingan 2 trigonometri berbeda. Kedua trigonometri tersebut jika langsung disubstitusi dengan nilai c menghasilkan f(c) = 0 dan g(c) = 0. Sehingga, nilai limit trigonometri tersebut menjadi bilangan tak tentu $frac{0}{0}$ . Penyelesaiannya sama dengan limit fungsi aljabar yaitu pemfaktoran. Contoh bentuk ini yaitu:

$lim limits_{xto ^pi/_2}frac{sin 2x}{cosx} = frac{2 cos x sin x}{cosx} = 2 sin x = 2 sin frac{pi}{2} = 2$

3. Bentuk $lim_{xto 0}frac{f(x)}{g(x)}$

Pada bentuk ini, limit diperoleh dari perbandingan antara trigonometri dan fungsi aljabar. Jika disubstitusikan langsung akan menghaslikan bilangan tak tentu. Pada bentuk ini dikerjakan dengan konsep turunan. Bentuk rumus dasar limit ini adalah:

$lim limits_{xto 0}frac{sin x}{x} = lim_{xto 0}frac{x}{sin x} = 1$

$lim limits_{xto 0}frac{x}{cos x} = 0$

$lim limits_{xto 0}frac{cos x}{x} = infty$

$lim limits_{xto 0}frac{tan x}{x} = lim_{xto}frac{x}{tan x} = 1$

Berdasarkan rumus dasar diataas, jika dikembangkan menjadi rumus-rumus berikut:

$lim limits_{xto 0}frac{sin ax}{bx} = frac{a}{b}$

$lim limits_{xto 0}frac{ax}{sin bx} = frac{a}{b}$

$lim limits_{xto 0}frac{ax}{cos bx} = 0$

$lim limits_{xto 0}frac{cos ax}{bx} = infty$

$lim limits_{xto 0}frac{tan ax}{bx} = frac{a}{b}$

$lim limits_{xto 0}frac{ax}{tan bx} = frac{a}{b}$

$lim limits_{xto 0}frac{sin ax}{tan bx} = frac{a}{b}$

$lim limits_{xto 0}frac{tan ax}{sin bx} = frac{a}{b}$

Contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal Limit 1

Tentukanlah nilai dari $lim_{xto 2}(frac{6-x}{x^2-4} - frac{1}{x-2})$ (UAN 2002)

Pembahasan 1 :

$lim limits_{xto 2}(frac{6-x}{x^2} - frac{1}{x-2}) = lim limits_{xto 2}(frac{6-x}{x^2-4} - frac{x+2}{(x-2)(x+2)})$ $= lim limits_{xto 2}frac{(6-x) - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$

$=lim limits_{xto 2}frac{4-2x}{(x-2)(x+2)} = lim limits_{xto 2}frac{-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ $= lim limits_{xto 2}frac{-2}{(x+2)}$

$=-frac{2}{4} = -frac{1}{2}$

Contoh Soal Limit 2

Tentukanlah nilai dari $lim limits_{xto infty}(frac{sqrt{4x+x^2} - sqrt{2+x^2}}{3x})$ (UN 2009)

Pembahasan 2:

$lim limits_{xto infty}(frac{sqrt{4x+x^2}-sqrt{2+x^2}}{3x}) = lim_{xto infty}(frac{sqrt{frac{4}{x^2}+frac{x^2}{x^2}}-sqrt{frac{2}{x^2}+frac{x^2}{x^2}}}{frac{3x}{x}})$ $= lim_{xto infty}(frac{sqrt{frac{4}{x^2}+1}-sqrt{frac{2}{x^2}+1}}{3})$

$=(frac{1-1}{3}) = frac{0}{3} = 0$

Contoh Soal Limit 3

Tentukanlah nilai dari $lim limits_{xto 0}(frac{x^2+ sin x tan x}{1- cos 2x})$ (SPMB 2002)

Pembahasan 3 :

$lim limits_{xto 0}(frac{x^2+ sin x tan x}{1- cos 2x}) = lim limits_{xto 0}(frac{x^2+ sin x tan x}{2sin^2x})$ $= lim limits_{xto 0}(frac{x^2}{2 sin^2x}+frac{sin x tan x}{2sin^2x})$

$= lim limits_{xto 0}(frac{x^2}{2sin^2x}+frac{sin x tan x}{2 sin^2x})$ $= lim limits_{xto 0}(frac{x^2}{2 sin^2x}+frac{tan x}{2 sin x})$

$=(frac{1}{2(1^2)}+frac{1}{2(1)}) = frac{1}{2}+frac{1}{2} = 1$

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

Integral Trigonometri

Rumus ABC

Determinan dan Invers Matriks

Limit Fungsi

Pengertian Limit Fungsi