Limit Fungsi

Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

limit fungsi ilustrasi

Ilustrasi limit. Sumber gambar: betterexplained.com

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Suku Banyak

Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Limit Fungsi Aljabar

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

NoTEOREMA
1\lim \limits_{x\to c}k=k
2\lim \limits_{x\to c}x = c
3k \cdot \lim \limits_{x\to c}f(x)
4\lim \limits_{x \to c}({f(x) + g(x)}) = \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x)
5\lim \limits_x\to c({f(x) - g(x)}) = \lim_x\to c{f(x) - g(x)} = \lim_x{\to c}f(x) - \lim_{x \to c}g(x)
6\lim \limits_{x\to c}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c}g(x)
7 \lim \limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}
8\lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim_{x\to c}f(x))^n
9\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim_{x\to c}f(x)}

 

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai  kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:

\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1

2. Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

∞, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 x∞, ∞ – ∞, 00, ∞0, atau ∞

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan x\to c. Contoh:

\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}

3. Metode perkalian dengan akar sekawan

Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai x\to c. Contoh:

\lim \limits_{x\to -1}\frac{x +1}{1 - \sqrt{x + 2}} x (\frac{1 + \sqrt{x +2}}{1 + \sqrt{x + 2}}) = \frac{(x + 1)(1 + \sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}

=\frac{(x + 1)(1+\sqrt{x+2})}{-x - 1} = \frac{(x+1)(1+\sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + \sqrt{x + 2})

=-(1 + \sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2

Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang nilai x mendekati tak berhingga (∞), sehingga jika disubstitusikan fungsi menghasilkan nilai tak tentu. Dalam pengoperasian limitnya, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika n adalah bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

NoTEOREMASYARAT
1\lim \limits_{x\to \infty}k = kk adalah konstanta
2\lim \limits_{x\to \infty}x^n = \infty
\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^n} = 0
3\lim \limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^n} = \inftyJika n = genap
\lim \limits_{x\to - \infty}\frac{1}{x^n}= - \inftyJika n = ganjil
4\lim \limits_{x\to \infty}k \cdot f(x) = k \cdot \lim \limits_{x\to \infty}f(x)k adalah konstanta
5\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) + g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x) \lim \limits_{x\to \infty}{f(x) + g(x)} = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)
6\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) - g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)
7\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty}f(x) \cdot \lim \limits_{x\to \infty} g(x)
8\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}
9 \lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim \limits_{x\to c} f(x))^n
10\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim \limits_{x\to c}f(x)}
11 \lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = \infty\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = 0
\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = 0\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = \infty

 

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:

  1. Membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk \lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}. Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xn berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi  f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan x\to \infty. Contoh:

\lim \limits_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x^2+2} = \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0

  1. Mengalikan bentuk sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk \lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x). Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:

\frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x \to \infty}g(x)}

kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:

\lim \limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x - 5 - \sqrt{x^2 -x -2}})

=\lim \limits_{n\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x -5 - \sqrt{x^2 - x - 2}}) x \frac{(\sqrt{x^2+4x-5 + \sqrt{x^2 - x - 2}})}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}

= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})} = \lim \limits_{n\to \infty}frac{5x-3}{(\sqrt{x^2+4x-5})+\sqrt{x^2-x-2}}

Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x1: