Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

(Catatan: Untuk materi dasar tentang matriks, silakan buka di materi Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb.)

Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:

Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},

maka:

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1+3 & 4+6 \\ 2+4 & 5+7 \\ 3+5 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 6 & 12 \\ 8 & 14 \end{pmatrix}

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Logika Matematika

Transformasi Geometri

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Contoh:

Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},

maka:

B - A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3-1 & 6-4 \\ 4-2 & 7-5 \\ 5-3 & 8-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:

  • A + B = B + A
  • (A + B) + C = A + (B + C)
  • A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka r.A = (r.a_{ij}). Contoh:

Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan bilangan r = 2, maka:

r.A = 2 . \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \\ 2.2 & 2.5 \\ 2.3 & 2.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

  • r(A + B) = rA + rB
  • r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

perkalian matriks

Elemen-elemen matriks C_{(m \times s)} merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

perkalian elemen matriks

Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

maka:

A \cdot B = C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \\ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \\ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 16 & 40 \\ 21 & 29 \\ 16 & 27 \end{pmatrix}

Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

Sebagai pembuktian, diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} maka:

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}

BA = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

  • k(AB) = (kA)B
  • ABC = (AB)C = A(BC)
  • A(B + C) = AB + AC
  • (A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} maka determinan A adalah: