Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang 0^{\circ} sampai dengan 360^{\circ} atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Rumus Mean Median Modus

Rumus Limit Fungsi

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sebagai berikut:

1. Sinus

Jika \sin px = \sin a dengan p dan a dalah konstanta, maka

  • Dalam bentuk derajat:

x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}

x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}

Sebagai contoh:

\sin 3x^{\circ} = 0, 0^{\circ}\le x \le 360^{\circ}

Maka:

\sin 3x^{\circ} = \sin 180^{\circ}

x_1 = \frac{180}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = 60 + (k \times 120), k \epsilon B

x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p} = \frac{(180^{\circ} - 180)}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = k \times 120, k \epsilon B

x_2 k \times 120, k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = 60 atau x_2 = 0

k = 1 \rightarrow x_1 = 180 atau \rightarrow x_2 = 120

k = 2 \rightarrow x_1 = 300 atau \rightarrow x_2 = 240

k = 3 \rightarrow x_2 = 360

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

  • Dalam bentuk radian:

x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}

x_2 = \frac{(\pi - a)}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}

Sebagai contoh:

\sin 3x = 0

Maka:

\sin 3x = \sin \pi

x_1 = \frac{\pi}{3} + k \times \frac{2\pi}{3}, k \epsilon B

x_2 = \frac{(\pi - \pi)}{3} + k \times \frac{2\pi}{3} = k \times \frac{2\pi}{3},k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

\frac{\pi}{3} + k \times \frac{2\pi}{3}\cup k\times \frac{2\pi}{3}, k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3} atau x_2x_2 = 0

k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3}+ \frac{2\pi}{3} = \pi atau x_2 = \frac{2\pi}{3}

k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} atau x_2 = \frac{ \pi}{3}

k = 3 \rightarrow x_2 = 2\pi

jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0,\frac{\pi}{3}, \pi , \frac{4\pi}{3} , \frac{5\pi}{3} , 2\pi)

2. Cosinus

Jika \cos px = \cos a dengan p dan α adalah konstanta, maka:

  • Dalam bentuk derajat:

x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}

Sebagai contoh:

2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}

Maka:

2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0

\cos(2x - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}

\cos(2x - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ}

Sehingga:

2x - 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}

2x = 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}

Diperoleh:

x_1 = 45^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B

x_2 = 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

45^{\circ} + k \times 180^{\circ}\cup 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = 45^{\circ}atau x_2 = 15^{\circ}

k = 1 \rightarrow x_1 = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 180^{\circ} = 225^{\circ} atau x_2 = 15^{\circ} + 180^{\circ} = 115^{\circ}

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(156{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}, 225^{\circ})

  • Dalam bentuk radian:

x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (2\pi)}{p}

Sebagai contoh:

2 \cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 0,0 \le x \le 2\pi

Maka:

2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 0

\cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sqrt{3}

\cos (2x - \frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{6})

Sehingga:

2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + k \times 2\pi

2x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} + k \times 2\pi

Diperoleh:

x_1 = \frac{\pi}{4} + k \times \pi ,k \epsilon B

x_1 = \frac{\pi}{12} + k \times \pi ,k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

\frac{\pi}{4} + k \times \pi \cup \frac{\pi}{12} + k \times \pi , k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} atau x_2=x_2 = \frac{\pi}{4}

k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5}{4}\pi ataux_2 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13}{12}\pi

jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(\frac{\pi}{12} , \frac{\pi}{4} ,\frac{13\pi}{12} ,\frac{5\pi}{4})

3. Tangen

Jika⁡ \tan px = \tan a dengan p dan a adalah konstanta, maka

  • Dalam bentuk derajat:

x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 180^{\circ}}{p}

Sebagai contoh:

\tan(x - 45^{\circ}) = \cot 90^{\circ}, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}

Maka:

\tan (x - 45^{\circ}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}

\tan (x - 45^{\circ} = \tan 30^{\circ})

Sehingga:

x - 45^{\circ} = 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}

x = 45^{\circ} + 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}

x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ}

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ} , k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x = 75^{\circ}

k = 1 \rightarrow x = 75^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(75^{\circ}, 225^{circ})

  • Dalam bentuk radian:

x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (\pi)}{p}

Sebagai contoh:

\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \cot\frac{\pi}{2}, 0 \le x \le 2\pi

Maka:

\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}

\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{6}

Sehingga: